YERÜSTÜ YÜKSEK GERİLİM İLETKENLERİNİN RÜZGAR ETKİSİYLE ZORLU TİTREŞİMLERİ VE REZONANS

YERÜSTÜ YÜKSEK GERİLİM İLETKENLERİNİN RÜZGÂR ETKİSİYLE ZORLU TİTREŞİMLERİ VE REZONANS

Macit ÇİĞDEMOĞLU Doç. Dr. Fiz. Y. Müh. Ziya ÇİĞDEMOĞLU, Mak. Müh.

ÖZET

Yurdun bir köşesinde üretilen elektrik enerjisini çeşitli amaçlarla, dağlar, uçurumlar, ırmaklar, vadiler ve denizler aşarak başka bir köşeye ileten yer üstü yüksek gerilim iletkenleri rüzgâr etkisi altında, strouhal olayı denen ve temeli akışkan mekaniği biliminde yatan bir olay dolayısıyla, yaz veya kış, zorlu titreşimlere geçerek rezonans dolayısıyla kopabilirler veya direkleri yıkabilirler. Burada elektrik enerji iletiminde çok büyük aksaklıklara yol açabilen bu olay incelenecek ve rezonanstan kaçınmak için öneriler açıklanacaktır.

GİRİŞ

Yer üstü yüksek gerilim iletkenlerinin rüzgâr etkisi altındaki bu titreşimlerini anlamak için kaynağı akışkan mekaniği biliminde yatan Strouhal olayı ile mekanik biliminde yatan titreşim olayının birleştirilmesi ve sonuçtan öneriler çıkarılması gerekir. Bu amaçla önce Karman girdap yolu ve Strouhal frekansı kavramları kısaca açıklanmalıdır. Bir kablo üzerinden enine yönde rüzgâr hareketi kablonun titreşimleri yönünden çok önemlidir. Hava akışı içindeki iletken üzerinde meydana gelen iz (wake) etkileri ve Strouhal frekansı kavramı bu yazının konusu ile birinci derecede ilgilidirler. Silindirik -bir iletkene enine yönde akışta ayrılma (separation ve girdap oluşumu (vortex) olayları görülür. Girdap oluşumundan hemen sonra ayrılır ve akış aşağı hareket eder. Bu durum iletkenden sonraki akış alanı içindeki akış alanını ve basınç dağılımını büyük ölçüde değiştirir. İletkenin arkasındaki girdaplı bölgede büyük bir emiş yer alarak iletken üzerinde bir basınç direncine (pressure drag) yol açar.

İletkenin arkasında iki paralel dizi halinde, fakat karşılıklı olmayan zıt sirkülâsyonlu birer girdaplar dizisi görülür. Bu ize Karman girdap yolu (Karman vortex street) adı verilir. Theodore von Karman girdapların ancak h/8 = 0,281 değeri için stabil olduklarını göstermiştir. Burada h iki girdap dizisi arasındaki uzaklık, £ de bir sırada bulunan iki girdap arasındaki açıklıktır. İletkenden çok yukarılarda veya çok aşağılardaki serbest bölgede rüzgâr hızı V ise girdap yolu v (v<V) ile hareket eder. Düzenli bir Karman izi ancak 60^Re< 5000 bölgesinde görülür. Re<60 değerinde bu iz bir iplik gibidir. Daha yüksek Re değerlerinde açık bir "yol" oluşumu görülür. Re>5000 bölgesinde tam bir türbülân karışma yer alır. Strouhal sayısı olarak bilinen

ELEKTRİK Mi'lUMtİSLİĞİ 306

6.1

27TV V

(D

sayısı 60 = Re = 1000

bölgesinde Re sayısının ilginç bir fonksiyonudur ve

Re>1000 değerinden sonra S = 0,21 değerinde

sabit kalır. İletkenin iki tarafında girdaplar Strouhal

frekansı ile bozunur ve bu bozun-ma iletkene

alternatif bir kuvvet uygular. İletkenin bu kuvvet

altındaki titreşim frekansı doğal frekansına eşit

olduğunda iletkende bir rezonans olayı ile titreşim

genliğinin gittikçe arttığı ve titreşim söndürülme-diği

takdirde iletkeni kopardığı veya direkleri eğerek

yıktığı görülmüştür. İletkenin bu hareketine İngilizce

literatürde "galloping transmission line" (dört nala

kalkan transmisyon hattı) adı verilir.

İletken yüzeyinde girdap ayrılma olayı gerçek bir öz uyarımlı (şelf excited) titreşim olayıdır ve girdaplar iletkenden strouhal frekansında ayrılırlar. Yukarıda da belirtildiği gibi, bu frekans iletkenin doğal titreşim frekansına yakın veya eşitse yıkıcı rezonans olayları yer alabilir. Bu düşünce aşağıdaki paragraflarda silindirik bir enerji iletkenine uygulanacak ve rezonanstan kaçınmak için öneriler geliştirilecektir.

Esnek iletkenlerin enine titreşim ve sehimleri

Aşağıdaki geliştirmelerde elektrik iletkeni mükemmel esnek bir cisim kabul edilecektir. Böyle bir halatın titreşimlerinin incelenmesinde şu kabuller yapılacaktır:

1) Kablo üniform kesitlidir ve üniform bir gergi kuvve ti altında gerilmiştir.

2) Kablo malzemesi homojen ve izotropiktir.

3) Titreşim hareketi kablonun içinde bulunduğu düz lemde ve kabloya dik yönde yer alır.

4) Kablonun maksimum sehimi uzunluğu yanında çok küçüktür.

5) Kabloda iç sürtünme yoktur.

Bu kabuller normal şartlarda elektrik enerji iletkenlerinde ve gergi tellerinde çok iyi bir yaklaşıklıkla sağlanırlar.

Kablonun zorlu titreşim diferansiyel denklemi

Şimdi Şekil 1'de görüldüğü gibi yüklenmiş esnek bir kablonun hareket denklemini elde edelim. Şekil 1'de T kablo üzerindeki üniform gergi kuvveti, m kablonun birim boyunun kütlesi, F kablo üzerindeki dış yaygın yük (kablonun birim boyunda), mg kablonun birim boyunun ağırlığıdır. R dış hava etkisiyle meydana gelen frenleme kuvveti katsayısı, RY kablonun birim boyundaki dış frenleme kuvvetidir. Kablonun ağırlığı dışındaki bütün kuvvetler kablo uzunluğu yönündeki koordinatın ve zamanın fonksiyonlarıdır.

Sekil 1. Esnek bir kablonun hareketi

x-yönündeki kuvvetlerin toplamı T

coş Ö! =Tcosö2=H (2)

Burada H sabit yatay kuvvet bileşenidir, y-yönündeki kuvvetlerin toplamı

-Tsinö-, +Tsin02-t-(F+mg-RY-mV)ds = 0 (3)

yazılabilir. (2) denklemi (3) denklemine yerleştirilirse

-tan

0a ı

, +

tan

+, —(F----f---m- g6—-RTY\ ---m--Y--)-d--s------n=0 ,

A.(4)

Bulunur. Fakat

ax x

— a* ')x+, d.x

(5)

=( ) , tan 0(2—=)

^

olduğundan Taylor açılımı uygulanır ve yüksek dereceli terimler ihmal edilirse

çw

XV X 2 V

(6)

elde edilir. Bu denklem (4) denklemine yerleştirilirse

(F+mg-RY-mY)ds H

(7)

bulunur. Öte yandan

5x2 )dX

elemanter diferansiyel hesap teorisinden

ds=x/î+(5Y/5x)2dx

(8)

/ LI.KTRİK MÜHENDİSLİĞİ 306

olduğundan, titreşim genliği çok küçük kabul edilmiş

olduğundan ds ~^dx alınabilir. Buna göre, (7) denklemi düzenlenirse

52Y , R5Y c2 62Y , F(x,t) ,

(l))

m St

bulunur. Burada c2 = H/m ve c kablo üzerinde mekanik

dalgalanmanın kablo boyunca yayılma hızıdır.

Dış kuvvetler dikkate alınmazlarsa F(x, t) = 0 ve

RY = 0 olacağından (9) denklemi 5 Y_C2 §2Y

(10)

5 12

6x2 bulunur ve kablonun serbest titreşim

diferansiyel denklemi adını alır.

Kablo yalnız statik yük altında ise bütün zaman türevleri

sıfır olacaklarından

.2 d2Y F

(11)

c _ ••—g

\ı •!

dx2 m

elde edilir. Bu denkleme kablonun statik sehim denklemi denir. Bu denklem

d2Y_ F mg

(12)

dx2

H H şeklinde de düzenlenebilir.

Şimdi kablonun üniform bir Wo kar, buz veya başka bir

statik yük altında olduğunu düşünelim. Bu takdirde

kablonun sehimini bulmak için (12) denkleminde L

kablonun uzunluğu olmak üzere (0, L) arasında ardışık

iki basit integrasyon yeter ve kablonun sehim

— den,klemWi o+m8iv, v*-ı->\

13M),» v v\

bulunur. Kablonun üniform yük altında parabolik bir şekil alacağı görülmektedir. Şimdi alternatif yaygın bir yük altında kablonun titreşimlerini araştıralım. Rüzgârın kablo üzerinde uyguladığı alternatif kuvvet F(x,t) = F cos(wt)

denklemiyle belirlenebilir. Burada (w) uygulanan dış kuvvetin frekansı, başka bir deyişle başlangıçta sözü edilen Strouhal frekansıdır. Böyle bir yük altında kablonun diferansiyel denklemi

S2Y 2 52Y , Fo

,,

M/Ü

_ C* _ -r

COS(VVt)

\ ı^l

halini alır. Böyle bir denklemi çözmek için Laplace ve

Fourier dönüşümlerinden «yararlanılır. Bu denklemde

uzay değişkenine göre sonlu Fourier transformu alınırsa

d2Ys(n,t)

.

-

Irk \*\ lnt\ + k- \\(0] ( 1ln

1 l 1ln

Y M \] +

VCKn' Ts^n't' -*n ' * ' » '

Fn

*

rj-ıt /uul \

' l L) | 1

— COŞ (Wl)

kn

bulunur. Burada kn = n?r/L dir. Bu denklemde, kablo

başlangıçta hareketsiz kabul edilip Laplace transformu

alınırsa c2 y ( n f \ -

lr\, \2 y in t\+ ' ~(~ >

°

m S2+Wsv2 ^

v n< s» /

ı

veya düzenleyerek Y (ıii) 1~H)"

ÎT kn

>sVlllS/

k

(s2+w2) (s2+c2k2

Bu denklemde ters transform alınmasında önce Laplace sonra Fourier veya önce Fourier sonra Laplace

transformu uygulanabilir. Önce ters Laplace transformu

alınırsa cos(knc)t-cos(wt)

1-(-1)n Fo

,sV,,,ı/

w2_(knC)2

kn m

buradan ters Fourier transformu alınırsa

2vk'ixnF,tn'l

\0^1'.;w2/_^(^kın\Cn)2,c"os/ (kncu-cos^(wt)

v/,

t\ ™ mL

" n=1

sin(knx)

(17)

bulunur. Bu sonuç kablonun herhangi bir noktasında

herhangi

L(knc)

= m

—

bir andaki titreşim r~N/~~ kablonun

gdeonğaliğl tinitriebşeimlirtfmreekkatnesdlairr.ı-11

m belirlemektedir. Genellikle önemli olan temel serbest

titreşim frekansı olduğundan n = 1 alınırsa

7T /H~

Wr, ----------- T\/ —

0 Lv m

M fil l18)

ELEKTRİK Mülll-;\DİSLİĞl 30<>

bulunur. Kablonun doğal frekanslarının kablo uzunluğu, yatay gergi kuvveti ve kablonun birim boyunun kütlesine bağlı olduğu görülmektedir.

(16) denklemine göre w2 = (knc)2 veya temel frekansta w2 = (— )2 —

(19)

Lm

olduğunda rezonons olayı yer alacaktır. Böyle bir olayın karakterini görmek üzere (15) denkleminde

w2== (knc)2 koyalım:

_

1 / ı\n

YSM =

(20)

kn (s2+k2c2)2

Bu denklemden ters Laplace transformu alınırsa

(21)

buradan da ters Fourier transformu alınırsa

Y(x,t) =

sin (kn«0t sin (knx) (22)

bulunur. Bu sonuç kablo titreşimlerinin zamanla artan genlikli olacağını göstermektedir. İşte bu olaya rezonans adı verilir.

Denklem (22) de

n _ O , n çift 2 , n tek olduğu dikkati çekecektir. Buna göre n = 1,3,3,..., değerleri kullanılırsa sonuç

Y(x,t)

—— mLc

t

*S-7 n—1

sin kn

(knc)t

sin

(knx)

,

n

tek

(23)

bulunur. Benzer şekilde (17) denklemi, n = tek için

4F Y(x,t) =

cos(knc)t-cos(wt) w2-

mL n=1 k

(knc)2

sin (knx) , n tek

(24)

bulunur. Buna göre kablonun titreşimleri yalnız tek harmoniklere sınıflanmış olmaktadır.

Şimdi kablonun rüzgâr etkisi altında rezonansa girmesini önlemek üzere alınabilecek önlemleri düşünelim.

Denklem (1) de Strouhal frekansı

V

(25)

w

D

1,319

bulunur. Bu frekans (knc) grubuna eşitlenirse, kısa bir aritmetik işlemden sonra

>5,682

(26)

D2H

elde edilir. Buna göre herhangi bir sabit rüzgâr hızında kablonun fiziksel özellikleri (26) eşitsizliğini sağlayacak şekilde düzenlenirse kablo rüzgâr etkisiyle rezonansa girmeyecek ve bundan doğacak yıkıcı etkiler tamamiyle önlenmiş olacaktır.

Şimdi bu teoriyi yakın geçmişte çekilmiş olan boğaz kablosuna uygulayalım. Verilen bilgiye göre bu kablonun çapı 14 mm ve iki pilon arası 1750 m.dir. Kablo çelik kabul edilirse bir metre uzunluğun kütlesi, m = -~- (0,014)2 (8000) = 1,23 kg/m

olduğuna göre (26) eşitsizliği H için çözülürse

V2L2

0 , 2 1 6 - - t — > H D2

(27)

veya uzunluk ve çap yerlerine konursa

3375(10)9V2>H (28)

elde edilir. Burada V için çeşitli rüzgâr hızları konursa herhangi bir rüzgâr hızında kablo üzerindeki yatay gerginin üst limiti bulunmuş olur.

KAYNAKLAR

1. ANDERSON, A. E., "Fundamentals of Vibrations". The MacMillan Co., New York. 1959. 2. BROMMIINDT, E., "Vibrations of Continuous Systems". International Center for Mechanical Sciences, Technical University of Darmstadt, Udine, 1969. 3. CHEN, Yu, 'Vibrations: Theoretical Methods", AddisonVV'esley Publishing Co. Inc., Reading, Mass., 1966. 4. CHURCH, A. H., "Mechanical Vibrations", John VV'iley and Sons, Inc., Nevv York, 1963. 5. CLOUGH.PENZIEN, "Dynamicsof Structures",McGraww -Ilill Book Co., Nevv York, 1975. fi. CHURCHILL, R.V., "OpcrationalMathematics"McGraww •Hill Book Co., New York..1972.

ELEKTRİK .MÜHENDiSLiĞi 306